Viscous Flow Past a Solid Sphere

Stokes Equation

斯托克斯方程（Stokes Equation）是完整的纳维-斯托克斯方程在低雷诺数（\(\text{Re} << 1\)）下的近似形式, 此时惯性力\(\rho\frac{D\vec{u}}{Dt}\)远小于粘性力\(\mu\nabla^2\vec{u}\)， 同时考虑不可压缩流流动。 斯托克斯方程以及连续性方程如下： \begin{equation} \nabla p = \mu\nabla^2 \vec{u} \end{equation}

\begin{equation} \nabla \cdot \vec{u} = 0 \end{equation}

Stokes Stream Function

由于此问题中的流动是轴对称的，与方位角\(\phi\)无关，所以我们引入斯托克斯流函数来简化问题： \begin{equation} u_r = \frac{1}{r^2\sin(\theta)}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta} \end{equation} \begin{equation} u_\theta = -\frac{1}{r\sin(\theta)}\frac{\partial\Psi}{\partial r} \end{equation} 流函数自动满足连续性方程。